std::sph_legendre, std::sph_legendref, std::sph_legendrel

 

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因数运算
gcd (C++17)	lcm (C++17)
插值
midpoint (C++20)	lerp (C++20)
泛型算术运算
iota (C++11) ranges::iota (C++23) accumulate inner_product adjacent_difference    partial_sum	reduce (C++17) transform_reduce (C++17) inclusive_scan (C++17) exclusive_scan (C++17) transform_inclusive_scan (C++17) transform_exclusive_scan (C++17)
C 风格带检查整数算术
ckd_add (C++26) ckd_sub (C++26)	ckd_mul (C++26)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
	(1)
float       sph_legendre (unsigned l, unsigned m, float theta ); double      sph_legendre (unsigned l, unsigned m, double theta ); longdouble sph_legendre (unsigned l, unsigned m, longdouble theta );			(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点数类型 */ sph_legendre(unsigned l, unsigned m,                                         /* 浮点数类型 */ theta );			(C++23 起)
float       sph_legendref(unsigned l, unsigned m, float theta );		(2)	(C++17 起)
longdouble sph_legendrel(unsigned l, unsigned m, longdouble theta );		(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template<class Integer > double      sph_legendre (unsigned l, unsigned m, Integer theta );		(A)	(C++17 起)

1-3) 计算 l 次、m 阶和极角 theta 的球关联勒让德函数。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点数类型作为形参 theta 的类型的 std::sph_legendre 重载。(C++23 起)

A) 为所有整数类型提供额外重载，将它们当做 double。

参数

l	-	次数
m	-	阶数
theta	-	极角，以弧度度量

返回值

如果没有发生错误，那么返回 l、m 和 theta 的球关联勒让德函数（即 ϕ = 0 下的球谐函数）的值，其中球谐函数定义为 Ym
l(theta,ϕ) = (-1)m
[

(2l+1)(l-m)!

4π(l+m)!

]1/2
Pm
l(cos(theta))eimϕ
，其中 Pm
l(x) 是 std::assoc_legendre(l, m, x)) 且 |m|≤l。

注意此函数定义包含 Condon-Shortley 相位项(-1)m
，因为以 std::assoc_legendre 定义的 Pm
l 忽略了它。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误。

• 如果实参是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 如果 l≥128，那么行为由实现定义

注解

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

球谐函数的一种实现参考 boost.math，且它在以设为零的参数 phi 调用时规约到此函数。

额外重载不需要严格以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的整数类型实参 num 确保 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, num) 和 std::sph_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 的效果相同即可。

示例

运行此代码

#include <cmath>#include <iostream>#include <numbers>   int main(){// 对于 l=3, m=0 的点检查double x =1.2345;std::cout<<"Y_3^0("<< x <<") = "<< std::sph_legendre(3, 0, x)<<'\n';   // 准确解std::cout<<"准确解 = "<<0.25*std::sqrt(7/std::numbers::pi)*(5*std::pow(std::cos(x), 3)-3*std::cos(x))<<'\n';}

输出：

Y_3^0(1.2345) = -0.302387 准确解 = -0.302387

参阅

assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel (C++17)(C++17)(C++17)

连带勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “球谐”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。