96.unique-binary-search-trees.md

题目地址（96. 不同的二叉搜索树）

https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？ 示例: 输入: 3 输出: 5 解释: 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树: 1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3 

前置知识

• 二叉搜索树
• 分治

公司

• 阿里
• 腾讯
• 百度
• 字节

岗位信息

• 腾讯（广州）- 安卓 - 社招 - 三面

思路

这是一个经典的使用分治思路的题目。

对于数字 n ，我们可以 1- n 这样的离散整数分成左右两部分。我们不妨设其分别为 A 和 B。那么问题转化为 A 和 B 所能组成的 BST 的数量的笛卡尔积。而对于 A 和 B 以及原问题除了规模，没有不同，这不就是分治思路么？至于此，我们只需要考虑边界即可，边界很简单就是 n 小于等于 1 的时候，我们返回 1。

具体来说：

• 生成一个[1:n + 1] 的数组
• 我们遍历一次数组，对于每一个数组项，我们执行以下逻辑
• 对于每一项，我们都假设其是断点。断点左侧的是 A，断点右侧的是 B。
• 那么 A 就是 i - 1 个数， 那么 B 就是 n - i 个数
• 我们递归，并将 A 和 B 的结果相乘即可。

其实我们发现，题目的答案只和 n 有关，和具体 n 个数的具体组成，只要是有序数组即可。

题目没有明确 n 的取值范围，我们试一下暴力递归。

代码（Python3）：

classSolution: defnumTrees(self, n: int) ->int: ifn<=1: return1res=0foriinrange(1, n+1): res+=self.numTrees(i-1) *self.numTrees(n-i) returnres

上面的代码会超时，并没有栈溢出，因此我们考虑使用 hashmap 来优化，代码见下方代码区。

关键点解析

• 分治法
• 笛卡尔积
• 记忆化递归

代码

语言支持：Python3, CPP

Python3 Code:

classSolution: visited=dict() defnumTrees(self, n: int) ->int: ifninself.visited: returnself.visited.get(n) ifn<=1: return1res=0foriinrange(1, n+1): res+=self.numTrees(i-1) *self.numTrees(n-i) self.visited[n] =resreturnres

CPP Code:

classSolution { vector<int> visited; intdp(int n) { if (visited[n]) return visited[n]; int ans = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) ans += dp(i) * dp(n - i - 1); return visited[n] = ans; } public:intnumTrees(int n) { visited.assign(n + 1, 0); visited[0] = 1; returndp(n); } };

复杂度分析

• 时间复杂度：一层循环是 N，另外递归深度是 N，因此总的时间复杂度是 $O(N^2)$
• 空间复杂度：递归的栈深度和 visited 的大小都是 N，因此总的空间复杂度为 $O(N)$

相关题目

• 95.unique-binary-search-trees-ii

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