1s 内能解决问题的数据规模：10^6 ~ 10^7
- O(n^2) 算法可以处理 10^4 级别的数据规模(保守估计，处理 1000 级别的问题肯定没问题)
- O(n) 算法可以处理 10^8 级别的数据规模(保守估计，处理 10^7 级别的问题肯定没问题)
- O(nlog n) 算法可以处理 10^7 级别的数据规模(保守估计，处理 10^6 级别的问题肯定没问题)
| 数据规模 | 时间复杂度 | 算法举例 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | O(n!) | permutation 排列 |
| 2 | 20~30 | O(2^n) | combination 组合 |
| 3 | 50 | O(n^4) | DFS 搜索、DP 动态规划 |
| 4 | 100 | O(n^3) | 任意两点最短路径、DP 动态规划 |
| 5 | 1000 | O(n^2) | 稠密图、DP 动态规划 |
| 6 | 10^6 | O(nlog n) | 排序，堆，递归与分治 |
| 7 | 10^7 | O(n) | DP 动态规划、图遍历、拓扑排序、树遍历 |
| 8 | 10^9 | O(sqrt(n)) | 筛素数、求平方根 |
| 9 | 10^10 | O(log n) | 二分搜索 |
| 10 | +∞ | O(1) | 数学相关算法 |
| ---------------- | ---------------- | ------------------------------------------------------------------ | -------------------------------- |
一些具有迷惑性的例子：
voidhello (intn){ for( intsz=1 ; sz<n ; sz+=sz) for( inti=1 ; i<n ; i++) cout << "Hello" << endl; }上面这段代码的时间复杂度是 O(nlog n) 而不是 O(n^2)
boolisPrime (intn){ for( intx=2 ; x*x <= n ; x++ ) if( n % x==0) return false; return true; }上面这段代码的时间复杂度是 O(sqrt(n)) 而不是 O(n)。
再举一个例子，有一个字符串数组，将数组中的每一个字符串按照字母序排序，之后再将整个字符串数组按照字典序排序。两步操作的整体时间复杂度是多少呢？
如果回答是 O(n*nlog n + nlog n) = O(n^2log n)，这个答案是错误的。字符串的长度和数组的长度是没有关系的，所以这两个变量应该单独计算。假设最长的字符串长度为 s，数组中有 n 个字符串。对每个字符串排序的时间复杂度是 O(slog s)，将数组中每个字符串都按照字母序排序的时间复杂度是 O(n * slog s)。
将整个字符串数组按照字典序排序的时间复杂度是 O(s * nlog n)。排序算法中的 O(nlog n) 是比较的次数，由于比较的是整型数字，所以每次比较是 O(1)。但是字符串按照字典序比较，时间复杂度是 O(s)。所以字符串数组按照字典序排序的时间复杂度是 O(s * nlog n)。所以整体复杂度是 O(n * slog s) + O(s * nlog n) = O(n*slog s + s*nlogn) = O(n*s*(log s + log n))
递归调用是有空间代价的，递归算法需要保存递归栈信息，所以花费的空间复杂度会比非递归算法要高。
intsum( intn ){ assert( n >= 0 ) intret=0; for ( inti=0 ; i <= n ; i++) ret+=i; returnret; }上面算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度 O(1)。
intsum( intn ){ assert( n >= 0 ) if ( n==0 ) return0; returnn+sum( n-1); }上面算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度 O(n)。
如果递归函数中，只进行了一次递归调用，且递归深度为 depth，在每个递归函数中，时间复杂度为 T，那么总体的时间复杂度为 O(T * depth)
举个例子：
intbinarySearch(intarr[], intl, intr, inttarget){ if( l>r) return-1; intmid=l+ (r-l)/2;//防溢出if(arr[mid] ==target) returnmid; elseif (arr[mid]>target) returnbinarySearch(arr,l,mid-1,target); elsereturnbinarySearch(arr,mid+1,r,target); }在二分查找的递归实现中，只递归调用了自身。递归深度是 log n ，每次递归里面的复杂度是 O(1) 的，所以二分查找的递归实现的时间复杂度为 O(log n) 的。
针对多次递归调用的情况，就需要看它的计算调用的次数了。通常可以画一颗递归树来看。举例：
intf(intn){ assert( n >= 0 ); if( n==0 ) return1; returnf( n-1 ) +f ( n-1 );上述这次递归调用的次数为 2^0^ + 2^1^ + 2^2^ + …… + 2^n^ = 2^n+1^ - 1 = O(2^n)
关于更加复杂的递归的复杂度分析，请参考，主定理。主定理中针对各种复杂情况都给出了正确的结论。
