457.circular-array-loop.md

题目地址(457. 环形数组是否存在循环)

https://leetcode-cn.com/problems/circular-array-loop/

题目描述

存在一个不含 0 的 环形 数组 nums ，每个 nums[i] 都表示位于下标 i 的角色应该向前或向后移动的下标个数： 如果 nums[i] 是正数，向前（下标递增方向）移动 |nums[i]| 步 如果 nums[i] 是负数，向后（下标递减方向）移动 |nums[i]| 步 因为数组是 环形 的，所以可以假设从最后一个元素向前移动一步会到达第一个元素，而第一个元素向后移动一步会到达最后一个元素。 数组中的 循环 由长度为 k 的下标序列 seq 标识： 遵循上述移动规则将导致一组重复下标序列 seq[0] -> seq[1] -> ... -> seq[k - 1] -> seq[0] -> ... 所有 nums[seq[j]] 应当不是 全正 就是 全负 k > 1 如果 nums 中存在循环，返回 true ；否则，返回 false 。   示例 1： 输入：nums = [2,-1,1,2,2] 输出：true 解释：存在循环，按下标 0 -> 2 -> 3 -> 0 。循环长度为 3 。 示例 2： 输入：nums = [-1,2] 输出：false 解释：按下标 1 -> 1 -> 1 ... 的运动无法构成循环，因为循环的长度为 1 。根据定义，循环的长度必须大于 1 。 示例 3: 输入：nums = [-2,1,-1,-2,-2] 输出：false 解释：按下标 1 -> 2 -> 1 -> ... 的运动无法构成循环，因为 nums[1] 是正数，而 nums[2] 是负数。 所有 nums[seq[j]] 应当不是全正就是全负。   提示： 1 <= nums.length <= 5000 -1000 <= nums[i] <= 1000 nums[i] != 0   进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(n) 且额外空间复杂度为 O(1) 的算法吗？ 

前置知识

• 图

公司

• 暂无

解法一 - 暴力解

思路

根据题意，我们可以检查所有情况。即分别检查从索引 0，1，2。。。 n-1 开始的情况， 判断其是否能构成长度至少为 2 的环。

不难理出算法框架为：

foriinrange(n): ifcan(i): returnTruereturnFalse

can(i) 功能是检查是否从 i 开始可以有一条长度至少为 2 的循环。

那么剩下的问题就是如何实现 can(i)。 检查是否有环明显就是一个标准的图的搜索问题，套用模板即可。

这里有几点需要注意：

1. 由于我们必须同正同负，那么我们可以记录一下其实的正负。如果遍历到的值不同为正负则可以提前退出。
2. 如果环大小小于 2 则返回 False，这提示我们记录一下环的大小。如下代码 steps 就是环的大小。
3. � 由于题目是限定了数组是 环形 的，所以可以假设从最后一个元素向前移动一步会到达第一个元素，而第一个元素向后移动一步会到达最后一个元素。 因此我们需要对两种越界分开讨论。不过为了代码一致，我用了统一的写法 (cur + nums[cur]) % n + n ) % n 获取到下一个索引。

代码

• 语言支持：Python3

Python3 Code:

classSolution: defcircularArrayLoop(self, nums: List[int]) ->bool: defcan(cur, start, steps): ifnums[cur] ^nums[start] <0: returnFalseifcur==startandsteps!=0: returnsteps>1ifcurinvisited: returnFalsevisited.add(cur) returncan(((cur+nums[cur]) %n+n ) %n, start, steps+1) n=len(nums) visited=Noneforiinrange(n): visited=set() ifcan(i, i, 0): returnTruereturnFalse

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

解法二 - 空间优化

思路

和解法一类似。不过由于如果 steps 大于 n 则一定不存在解，可直接返回 False，因此我们可以根据 steps 判断是否无解，而不必使用 visited 数组。这样做可以减少空间，不过时间复杂度上常数项上要比解法一差，因此不推荐，仅作为参考。

代码

• 语言支持：Python3

Python3 Code:

classSolution: defcircularArrayLoop(self, nums: List[int]) ->bool: defcan(cur, start, steps): ifnums[cur] ^nums[start] <0: returnFalseifcur==startandsteps!=0: returnsteps>1ifsteps>n: returnFalsereturncan(((cur+nums[cur]) %n+n ) %n, start, steps+1) n=len(nums) foriinrange(n): ifcan(i, i, 0): returnTruereturnFalse

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(1)$

解法三 - 原地标记

思路

我们可以对前面两种解法进行优化。

我们可以使用哈希表 visited 记录访问情况，其中 key 为索引，value 为起始点。如果当前节点在 visited 中，就只有两种情况：

• visited[cur] == start 为真，也就是说 cur 是在当前轮被标记访问的，直接返回 true
• 否则不是在当前轮标记的，那么一定是之前标记的，那直接返回 false 就好了。因此之前轮已经检查过了经过 cur 不存在环

我们使用了 visited 后每个点最多被处理一次，因此可以将时间复杂度降低到 $O(n)$。

进一步，我们可以使用原地标记的算法而不开辟 visited ，从而将空间复杂度降低到 $O(1)$。实现也很简单，只需要将数组值映射到题目值域外的数即可。 � 以这道题来说，加 5000 就可以映射到题目数据范围外。

代码

• 语言支持：Python3

Python3 Code:

classSolution: defcircularArrayLoop(self, nums: List[int]) ->bool: defcan(cur, start, start_v): ifnums[cur] >=5000: returnnums[cur] -5000==startifnums[cur] ^start_v<0: returnFalsenxt= ((cur+nums[cur]) %n+n ) %nifnxt==cur: returnFalsenums[cur] =start+5000returncan(nxt, start, start_v) n=len(nums) foriinrange(n): ifcan(i, i, nums[i]): returnTruereturnFalse

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：不考虑递归产生的调用栈开销的话是 $O(1)$

读者可以轻易地将上面的代码改为迭代，感兴趣的读者不妨试试看。

关键点

• 使用哈希表 visited 记录访问情况，其中 key 为索引，value 为起始点。这样可以将时间复杂度降低到 $O(n)$

此题解由 力扣刷题插件 自动生成。

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